이득우의 게임 수학) 2장. 수 : 가상 세계를 구성하는 가장 작은 단위

2.1 수와 집합

 

2.1.1 연산과 수의 구조

 

소박한 집합론(Naive set theory) : 서로 구분되는 원소(Element)로 구성된 묶음을 의미하는 집합을 다룸. 수집합을 정의하여 구분. (한계 : 집합의 성질이 공리적으로 명확하지 않음)

 - 사원수 : 실수와 제곱하면 -1이 되는 세 허수 단위 i, j, k를 조합해 a + bi + cj + dk (a, b, c, d는 실수) 형태로 표현하는 수의 집합

 

공리적 집합론(Axiomatic set theory) : 수가 가지는 연산에 대한 공리를 기반으로 수를 분류. (60~61p)

 

수집합의 고유한 특징 : 원소를 이용해 연산한다.

ex) 사칙연산과 같은 이항연산(Binary operation)

이항연산 : 같은 집합에 속한 두 수를 투입한 이항연산의 결과가 항상 투입한 집합에 속한다면, 그 이항연산은 해당 집합에 대해 닫혀 있다(Closure). 교환법칙(Commutative law), 결합법칙(Associative law), 분배법칙(Distributive law, 좌분배법칙과 우분배법칙을 모두 충족)라는 3가지 성질을 지닌다. 또한, 항등원과 역원을 지닌다. (62~64p)

 

2.1.2 수의 구조

 

+ 군, 환, 체의 개념 (대수학)

 

군(Group)의 형태 : (G, *, e)

1. G의 원소는 연산 *에 대해 결합법칙이 성립해야 한다.

2. 연산 *에 대한 항등원 e가 존재해야 한다.

2. G의 원소 a는 연산 *에 대한 역원이 존재해야 한다.

 

환(Ring)의 형태 : (R, +, *, 0) (군에 연산 * 하나가 더 추가됨)

1. (R, +, 0)이 군이며, 연산 +에 대해 교환, 결합, 분배법칙이 성립해야 한다.

2. 연산 *에 대해 결합법칙이 성립해야 한다.

3. 연산 *에 대해 분배법칙이 성립해야 한다.

이때 연산 *에 대해 교환법칙이 성립한다면 가환환(commutative ring), 곱셈에 대한 항등원이 존재하는 환은 단위원을 가진 환(ring with identity)이다. 단위원을 가진 가환환은 (R, +, *, 0, 1)로 곱셈에 대한 항등원까지 포함시켜 표현한다. 이를 정역(integral domain)이라 한다. 단위원을 가진 가환환에 대해 모든 R의 원소가 곱셈에 대한 역원을 가진 환을 나눗셈환(division ring)이라 한다.

 

체(field) : 단위원을 갖는 가환환이면서 나눗셈환인 환.

비가환체(skew field) : 단위원을 갖는 비가환환(교환법칙X, 항등원O) 이면서 나눗셈환(역원O)인 환.

 

참고 : https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=mondvopel&logNo=220020341466 

 

 

유리수(Q), 실수(R)과 같이 체의 구조를 가지는 수 집합은 특별한 예외 상황 없이 덧셈과 곱셈을 안전하고 자유롭게 사용할 수 있다고 볼 수 있다. 앞으로 우리는 특정한 수 집합을 지정해 사용하는 것이 아닌, 체의 구조를 기반으로 체계를 확장해 공간의 구조를 생성하고 그 안에 콘텐츠를 담는 가상 세계를 구축할 것이다.

 

2.1.3 수의 표현

 

수직선으로 덧셈과 곱셈을 표현할 수 있다.

 

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2.2 함수 69p

 

2.2.1 함수의 개념과 종류

 

함수의 조건

1. 첫 번째 집합의 모든 원소에 대한 대응 관계가 존재해야 함.

2. 첫 번째 집합의 원소는 두 번째 집합의 한 원소에만 대응되어야 함.

 

함수의 종류

- 전사함수(Surjection)(위로의 함수 Onto) : 공역과 치역이 동일한 함수

- 단사함수(Injection)(일대일함수 One-to-One) : 정의역과 공역의 요소가 일대일로 대응되는 함수

- 전단사함수(Bijection, One-to-One and Onto) : 전사함수이자 단사함수

 

2.2.2 합성함수

 

2.2.3 항등함수와 역함수

 

항등함수(Identity Function) : 정의역과 공역이 동일한 값으로 대응되는 함수

역함수(Inverse Function) : 전단사함수만 역함수를 갖는다

 

2.2.4 곱집합을 활용한 좌표 평면으로의 확장

 

곱집합(Cartesian product, Product set) : 두 집합의 원소를 순서쌍으로 묶은 원소의 집합.

실수집합 R에 대해 곱집합 R*R을 정의역으로 설정하면, 다변수함수 f(x, y)=z를 정의할 수 있다.

 

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2.3 정리

 

공리로부터 설계된 수의 구조는 수의 용도를 확장시켜 가상 세계를 구축하는 데 기반이 된다.